素数とは存在しないと不安な数である

まゆ：ともは沖縄へ行ったことある？

とも：5年ほど前に行ったで。仕事でやけど

まゆ：ゴールデンウイークに仕事仲間と沖縄へ遊びに行くんやけど、私、沖縄行くの初めてやから、不安なことがあるねん

とも：不安？　飛行機の乗り方がわからへんとか？

まゆ：それぐらい知っとーわｗ

とも：じゃあ、ハブが怖いとか？

まゆ：ハブなんか怖ないで！私らが本気出せば血清持参で沖縄へ行くしｗ

とも：本気ってなんやねんなｗ　で、何が不安やの？

まゆ：沖縄ってセブンイレブンないんやろ。どうしよ(※1)

とも：どーでもええわ。本島やったらローソンやファミマがあるから我慢しときｗ

まゆ：国道2号線も43号線もないんやろ。街中で素数が見られへんって不安やん

とも：素数中毒やなｗ　せっかく沖縄へ遊びにいくんやから、素数を忘れて、珊瑚礁の海とか、熱帯の独特の花とか自然とか、神戸にはない沖縄の雰囲気に癒やされて来たらええやん。美ら海水族館は一見の価値ありやでぇ！

まゆ：(´・ω・`)

とも：そんな顔しいなって。あ、沖縄にも31アイスクリームがあるらしいし、素数があって、よかったやん！(※2)

まゆ：なんで沖縄まで行って、三宮でも食べられるようなもん食べんといかんねんな。沖縄でアイスっていうたらブルーシールとかあるやん！(ガイドブックを持って力説)(※3)

とも：あんたのこだわりの方向性がわからんｗ　じゃあ、私が荒療治しよう

まゆ：荒療治？　私、こう見えても薬剤師やでｗ

とも：たまには私から素数の話をしよう！

まゆ：え、ほんま！あんた、やっと素数の魅力に気づいたんやなぁ！

とも：ガウスの素数定理の話で100までに含まれる素数は平均して4個に1個。1兆までの数に含まれる素数は26.6個に1個の割合になるって言うてたやん(※4)

まゆ：うんうん(ニコニコ)

とも：つまり、数が大きくなるにつれて、素数の密度はだんだん少なくなるんと違うん？

まゆ：そやなぁ。でも、素数は永遠に存在しつづけるねん

とも：去年の夏、えりかちゃんの宿題で、素数が永遠にあることを証明したもんなぁ(※5)

まゆ：したした。したなぁ。ユークリッドの定理っていうねん(ニコニコ)

とも：めっちゃ嬉しそうやで、あんたｗ

まゆ：あたりまえやん。素数のおもしろさに気づいた人が増えたことに喜びを感じてるねん

とも：まぁええわ。で、2から最大の素数まで順番に素数を掛けていって、1を足すと、そのときの最大の素数よりも大きな素数を見つけることができるやん

まゆ：そやでー。その答えが素因数分解できても、その計算で使った最大の素数よりも大きな素数を得ることができるねん

とも：で、私は考えた！　素数ではなく1から10,000までの数を全部掛けてみる…いや、1は掛けても同じやから、あえて1〜10,001までの数を掛けてみよう

まゆ：Σ(ﾟдﾟlll)

とも：そして、この式を10,000個作るねん。それで、それぞれの式に2〜10,001までの数を1個ずつ割り当てて足し算する。すると…

まゆ：もう、この話やめて〜。その10,000個の式の答は全て割り切れる……

とも：そぉやでぇ。つまり、この10,000個の式の答えを並べると…1万もの連続した整数ができるねん。しかも、素数がまったく出てこぉへん！

まゆ：あんたって女は…

とも：この計算を1億までやれば、1億の連続する整数で素数がないねん…なんぼでも素数がない連続した整数を作れるんやでぇ！じゃあ、気を付けて沖縄に行っておいでｗ　お土産忘れんといてや

まゆ：…確かに、その式を使えばいくらでも素数がない数列を作ることもできるかも知れん。でもなぁ、素数は、どれだけ数を数えても存在し続けるねん。つまり無限に素数がない数列は存在できひんねん！

とも：言い切りよったｗ　でも、こんな簡単な式で素数のない数列を計算することができるんやで

まゆ：「素数砂漠」って知っとぉ？

とも：何？　砂漠？

まゆ：素数が全くない連続した整数の範囲のことを「素数砂漠」っていうねん。でもな、最新の研究では素数と次の素数の差が246以内のペアが無限個存在することがわかってるんやで(※6)

とも：でも、それは246の連続した整数の間に必ず素数があるということにはならんやろ。素数と素数の差が246以内のペアがたくさんありますよ…という話だけで

まゆ：鋭いところを突いてくるなぁ

とも：私も調べたでぇ。その「素数砂漠」とやらを。99,750桁に、468万もの連続した整数で素数が1個もないかも知れないところがあるらしいなぁ。246どころやないで。ひひひ(※7)

まゆ：とも……。私、そんなところで生きて行かれへん…のたれ死にする…

とも：大げさやなぁ。でもなぁ、まゆに、とどめを刺す気はない。沖縄には素数国道・国道331号線があるらしいで。素数がない468万以上の数字を数えるよりも、沖縄旅行なんて余裕のよっちゃんやろ

まゆ：え、マジで？　沖縄旅行を楽しむ希望が沸いてきたわー！

とも：あんた、沖縄へ何しに行くねんな

♥ 脚注 ♥

※1　本稿を発表した2016年当時、沖縄県は、日本の都道府県で唯一、セブンイレブンが存在しなかった。沖縄県にセブンイレブン1号店が開店したのは2019年7月11日。

※2　サーティワンアイスクリーム〜沖縄県の店舗

※3　ブルーシール
沖縄を代表するアイスクリームチェーン。もともとはアメリカのフォーモスト社が米軍統治下の沖縄の基地内で販売したのが発祥。最近は沖縄県外でもフランチャイズ店が進出している。
→関連リンク：ブルーシール

※4　「第10話　素数とは階段で見つける数である」を参考のこと。

※5　「第7話　素数とは無限に続く数である」を参考のこと。

※6　隣り合った素数の間隔に関する研究について
　2013年、ニューハンプシャー大学の張益唐(ジャン　イータン)博士が、隣り合った素数の差が7000万以下の組は無限個あることを証明したのを皮切りに、素数の間隔に関する研究が大幅に進展。2014年にはモントリオール大学のジェームス・メイナード教授とカリフォルニア大学のテレンス・タオ教授らの研究組織「Polymath 8」が「差が600以下の組が無限個ある」ことを証明。さらに、同じ年にその差は246以下にまで縮まることを証明した。
　この研究の飛躍的な進展は素数の未解決問題「双子素数予想」(双子素数は無限に存在するか…という予想)に決着をつけるのではないかと期待されている。
　なお「隣り合った素数の差が246以下の組が無限個ある」は「246の連続する整数に必ず素数がある」という意味ではない。

※7　「素数砂漠」の研究について
　2016年4月現在、99,750桁で4,680,156の連続した整数で素数がない領域がある可能性があり、現在、検証が行われている。
→参考リンク：First known occurrence prime gaps (Thomas R. Nicely) (英語)