まゆ：来年、阪神タイガース優勝かも

とも：あれ？　まゆ、野球に興味もってったっけ？(※1)

まゆ：来シーズンから阪神を応援することにしてんけど、悪い？

とも：別に悪くないけど、どぉ言う、風の吹き回しなん？

まゆ：それは金本監督の背番号が「6」やから！(※2)

とも：え、それだけの理由？　「6」は素数と違うやん

まゆ：「6」って完全数やねんで！

とも：カンゼン、数？

まゆ：これやから文系は…。「完全数」って高校で習わんかったか？

とも：習ったかなぁ。思い出せん。もしかしたら、その授業の時、病気で学校休んでたかも…

まゆ：どぉせ、授業中に寝てたんやろｗ

とも：失礼な！私が病弱で、か弱い薄幸の乙女やっていうこと忘れたんか？

まゆ：忘れる前に、そんな話、今、初めて聞いたわ。高校2年の時、皆勤賞で表彰されてたくせにｗ

とも：あ、完全数。思い出した！　『博士の愛した数式』っていう本屋大賞に選ばれた小説に出てくるわ。主人公は阪神ファンの博士でな、阪神時代の江夏投手の大ファンやねん。なんでかというと江夏投手の背番号「28」が完全数やから…って、まるで今のあんたやん！(※3)

まゆ：その博士とは気が合いそうやわーｗ　今度、その本、貸して！

とも：で、完全数って、なんやったっけ？

まゆ：これだけ話しておいて、それを聞くか？　その本に完全数の説明ぐらい載ってるやろｗ

完全数
自然数で、その数以外の約数（1を含む）の和が、もとの数になる自然数。
(参考：三省堂『大辞林』第三版)

まゆ：ちなみに約数っていうのは、その数を割りきることができる数のこと。つまり、金本監督の背番号「6」は6以外に、1と2と3の3つの数で割りきることができるやろ。そして、その約数を足しあわせる(1+2+3)と、あら不思議、「6」に戻っちゃう。こぉいう数を「完全数」っていうねん

とも：へぇ。『博士の愛した数式』では博士の家の家政婦さんが完全数を見つけよったけどなｗ

まゆ：一見、簡単に見つかりそうやけど、完全数は、これまで48個しか見つかってないねん(※2015年10月現在)

とも：そぉなんや。ところで、まゆの中で素数の時代は終わったんか？

まゆ：何言うとん！　完全数と素数とは、めっちゃ関係あるねんで

とも：素数は無限にあるけど、完全数って48個しか見つかってないんやろ(※4)

まゆ：「メルセンヌ素数」って知っとぉ？

とも：え？　メルセンヌソース？　それっておいしい？

まゆ：何でも食べたがるなぁ。ソースやなくって、素数

とも：メルセンヌソースって、フランス料理で使われてそうで、おいしそうな響きやん

まゆ：フランスっていうのは当たってるけどな。メルセンヌっていう、フランスの数学者が考案した式で見つかった素数のことなんやけど、この「メルセンヌ素数」も、実は48個しか見つかってないねん(※5)

とも：そのメルセンヌ素数って、前に教えてもらった双子素数の仲間なんか？(※6)

まゆ：そぉいうのとは、ちょっと違うなぁ。メルセンヌさんも素数を見つける公式を探してたんやけど、ふと思ったんや。「2を素数の回数分かけた数から1を引くと、素数が見つけやすいんやないか」と

とも：へぇ。でも、メルセンヌさんの素数は48個しか見つかってないんやろ

まゆ：メルセンヌさんの式は「2ⁿ-1」で「nが素数」という簡単な式なんやけど、その答えのほとんどは素数やないねん。この式から出された素数でない数は「メルセンヌ数」っていうんやけど、素数やないんで、どぉでもええわｗ

とも：素数やないとわかったら投げやりやなｗ

まゆ：でも、この式から見つかる素数は、今では最大の素数を探すための公式みたいになってるねん。この前、話した、現時点で最大の素数もメルセンヌ素数やねんで。式で書くと「2^57885161-1」が例の1700万桁以上もある最大の素数(※7)

とも：素数公式の失敗作みたいな式やのに、すごいな。メルセンヌ

まゆ：ここで、掛布二軍監督の登場や。背番号の「31」も、実はメルセンヌ素数。式で書くと「2⁵-1」。小学生向けに書くと「2×2×2×2×2-1」

とも：急にスケールが小さくなったなぁ。メルセンヌｗ

まゆ：というか、昔の数学者を友だちみたいに言いなやｗ　ゴールドバッハ予想の時もそぉやったやろｗ(※8)

とも：私なりに、親しみを込めてるんやｗ　メルセンヌ素数はわかったけど、完全数とはどぉいう関係があるの？

まゆ：実はメルセンヌ素数にある数を掛けると、それが完全数になることがわかってるねん。つまり、メルセンヌ素数が見つかると、同時に完全数も見つかるっと

とも：だから、メルセンヌ素数の個数と完全数の個数は同じになるんやな

まゆの話をまとめると…

メルセンヌ数を式で表すと
2ⁿ-1　(n=素数)

これでも十分シンプルなのだが、数学の世界ではさらに下記のように表す
Mn

「M」は「メルセンヌ」。「n」は素数

例えば掛布二軍監督の背番号をこの記号で表すと
M(5)

そして、完全数の公式にはメルセンヌ数が入っている
Mnが素数ならば 2^n-1Mn は完全数

上の式をわかりやすくすると…
2ⁿ-1が素数ならば2^n-1(2ⁿ-1)は完全数

上の式を具体的にすると
2⁵-1 = 31 = 素数
2⁴×(2⁵-1) = 16×31 = 496は完全数
496の約数 = 1,2,4,8,16,31,62,124,248,496
496の約数を496を除いて足し算すると 1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496
∴496は完全数である。

とも：へぇ。すごいなぁ

まゆ：もっとすごいのは、メルセンヌは1644年に、メルセンヌ数の式を公表したんやけど、この式と同じ物が、この前、話した『ユークリッド原論』にある「完全数」の命題の中に入ってたんやなぁ。つまり、完全数の公式はメルセンヌ数の式の遙か前にわかっていたと言うこと(※9)

とも：なに、それ。ミステリアスな話になってきたで。ユークリッドって紀元前3世紀の人やろ。すごいな、エウクレイデスｗ

まゆ：それに、メルセンヌ素数も完全数も48個あるんやけど、実は、小さい数から順番に48個見つかったわけではなく、47番目のメルセンヌ素数が見つかった後に、それよりも小さいメルセンヌ素数が見つかったんやで。しかも、45番目から、現時点で最大の素数でもある48番目のメルセンヌ素数の間には、未発見のメルセンヌ素数があると言われてるねん

とも：こぉなってくると、わけがわからんわ

まゆ：いろいろ難しい話してしもたけど、今日、憶えておくことは、阪神の金本監督の背番号は完全数、掛布二軍監督の背番号はメルセンヌ素数。つまり、2016年は圧倒的な数学パワーで阪神は優勝するねん

とも：論理が飛躍しすぎと違うかｗ

素数姫の算数帳：メルセンヌ素数にまつわるエトセトラ

♥ 脚注 ♥

※1　まゆは運動音痴
　理系な性格のため、スポーツはやるのも苦手なら、観戦にも興味はない。

※2　金本監督「6」、掛布2軍監督「31」
　阪神・掛布雅之2軍監督(60)が現役時代と同じ背番号「31」をつけることが26日、明らかになった。西宮市内の球団事務所で2軍監督として正式契約を結んだこの日、球団からの打診を受諾した。これを受けて、金本知憲監督(47)も現役時代と同じ「6」を背負うことが決定。ともに栄光の番号を背負い、猛虎再建を目指すことになった。
　「31」と「6」。球団にとっては伝説であり、ファンにとっても待望の背番号が、同時に復活する。(後略)
　2015年10月27日『デイリースポーツ』から転載

※3　博士の愛した数式
　小川洋子の小説。2004年の第1回本屋大賞受賞作。新潮文庫版は2か月で100万部を売り上げた。
　主人公は元大学教授の数学者。交通事故の後遺症で記憶が80分しか持たない障害を負う。博士は阪神タイガースファンであるが、記憶は事故に遭った1975年で止まっており、当時のエースであった江夏投手の大ファン。その理由は江夏投手の背番号が「28」で完全数であったからである。
　数学が苦手なともは、この小説を「博士の愛した江夏」と評するが、とももお勧めの面白い小説である。本文中「この世で博士が最も愛したのは、素数だった」という記述もあり、素数マニアにもお勧めである。
　2006年には寺尾聰主演で映画化されている。
→関連リンク1：新潮文庫「博士の愛した数式」 (小川洋子・著)
→関連リンク2：映画「博士の愛した数式」公式サイト

※4　素数が無限にある証明は「第7話　素数とは無限に続く数である」を参考のこと。

※5　マラン・メルセンヌ　(1588〜1648)
　フランスの神学者。数学の世界では「メルセンヌ素数」「メルセンヌ数」でその名を残すが、一方で物理学、哲学、音楽の理論的な研究でもその名を知られている。
　特に音楽については、1オクターブを12等分にした「平均律」の理論を確立し「音響学の父」と言われている。当然、平均律には数学的要素が用いられていることは書くまでもないだろう。
　なお、メルセンヌ素数は2015年10月現在、48個しか見つかっていない。

※6　双子素数については「第5話　素数とは家族の数である」を参考のこと。

※7　最大の素数については「第3話　素数とは渦巻きで見つける数である」の脚注1を参考のこと。

※8　「第8話　素数とは整数の素となる数である」を参考のこと。

※9　ユークリッド(エウクレイデス)については「第7話　素数とは無限に続く数である」の脚注3を参考のこと。